Здравствуйте, могу ли я уйти на больничный после написания заявления об увольнении после 2 дней чтобы не отробатывать 2 недели

Добрый день! Да, можете, Вы только обязаны предупредить работодателя об увольнении за 2 недели:

ст.80ТК РФ.

Добрый день!

Согласно ст. 80 ТК РФ

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

При этом в трудовом законодательстве прямо не прописан перечень уважительных причин при которых работник может не отрабатывать вышеназванный двухнедельный срок.  Здесь можно руководствоваться постановлением Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 № 2.  Болезнь работника, которая препятствует продолжению работы вполне уважительная причина. 
Таким образом, вы можете уйти на больничный после написания заявления, например, на две недели, а затем быть уволенными и уже не выходить на работу.