Должен ли работодатель перевести меня на другую должность, на которую я была избрана?

Здравствуйте! Да, работодатель обязан заключить с Вами трудовой договор на исполнение трудовых обязанностей на новой должности в соответствии с результатами проведенного конкурса. Если конкурс был проведен с соблюдением всех установленных правил и локально-нормативных актов.

Назначение на выбранную должность регламентирует Статья 16. «Основания возникновения трудовых отношений» Трудового Кодекса РФ

Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом.
В случаях и порядке, которые установлены трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, или уставом (положением) организации, трудовые отношения возникают на основании трудового договора в результате:
избрания на должность;
избрания по конкурсу на замещение соответствующей должности;
назначения на должность или утверждения в должности;
направления на работу уполномоченными в соответствии с федеральным законом органами в счет установленной квоты;
судебного решения о заключении трудового договора;
признания отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями.
Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.
(часть третья введена Федеральным законом от 30.06.2006 N 90-ФЗ, в ред. Федерального закона от 28.12.2013 N 421-ФЗ)
Фактическое допущение работника к работе без ведома или поручения работодателя либо его уполномоченного на это представителя запрещается.