Могу ли я его продлить за свой счет?

Договор ГПХ не предусматривает отпусков и отпускных. По договору ГПХ у вас нет работодателя — у вас есть заказчик.

У вас или договор оказания услуг или договор подряда, и это не тоже самое, что трудовой договор. Договор ГПХ не регулируется Трудовым кодексом РФ, поэтому отпуска, больничные, премии и подобное, что предусмотрено ТК РФ, на вас не распространяется. На ваши правоотношения распространяет свое действие ГК РФ.

Вы можете договорить с вашим заказчиком о преостановлении договора, например. Но время, пока вы не будете оказывать услуги/выполнять Заказчик может и не оплачивать, оплата в этот период его плата, а не обязанность.

Вывод из вашего вопроса: как договоритесь с вашим Заказчиком, а когда договоритесь, то сделайте дополнительное соглашение к договору, в котором будут отражены те условия, на которые вы договоритесь.