Можно ли получить водительское удостоверение, если есть большой долг по алиментам?

Получить можно конечно. Но пристав вправе наложить запрет на них, раз есть долг.  Закон Об ИП от 2007 г.

Статья 64. Исполнительные действия

1. Исполнительными действиями являются совершаемые судебным приставом-исполнителем в соответствии с настоящим Федеральным законом действия, направленные на создание условий для применения мер принудительного исполнения, а равно на понуждение должника к полному, правильному и своевременному исполнению требований, содержащихся в исполнительном документе. Судебный пристав-исполнитель вправе совершать следующие исполнительные действия:
7) в целях обеспечения исполнения исполнительного документа накладывать арест на имущество, в том числе денежные средства и ценные бумаги, изымать указанное имущество, передавать арестованное и изъятое имущество на хранение;
15) устанавливать временные ограничения на выезд должника из Российской Федерации;
15.1) устанавливать временные ограничения на пользование должником специальным правом, предоставленным ему в соответствии с законодательством Российской Федерации;