Какой документ он должен выдать?

Добрый день.

1. На основании какого нормативно-правового акта командир части, рассмотрев рапорт и документы военнослужащего, даёт направление или разрешение своему военнослужащему на лечение в другом округе?

 Общим основанием для выдачи направления является п. 362 Устава внутренней службы ВС РФ, утвержденный указом  Президента РФ от 10.11.2007 N 1495.

И постановление Правительства РФ  от 01.12.2020 N 1980, которым установлено, что 

6. Для оказания медицинской помощи в плановой форме в стационарных условиях военнослужащие, 
направляются в соответствующие военно-медицинские организации по медицинскому заключению лечащего врача.
Очередность направления военнослужащих, определяют лечащие врачи соответствующих военно-медицинских организаций, оказывающих медицинскую помощь в амбулаторных условиях, по согласованию с военно-медицинскими организациями, в которые военнослужащие,  направляются на лечение в соответствии с медицинскими показаниями.
Основанием для приема военнослужащего, соответствующей военно-медицинской организацией, оказывающей медицинскую помощь в стационарных условиях, является представление военнослужащим, направления на госпитализацию, заверенного печатью установленного образца воинской части (организации, органа), а также документа, удостоверяющего его личность 

При невозможности его направления в ВМУ он может быть направлен на лечение в государственное или муниципальное лечебное учреждение согласно требованиям ст. 16 ФЗ «О статусе военнослужащих».

2. Какой документ он должен выдать?

 Выдается направление на госпитализацию заверенное печатью воинской части.

3. На основании какого нормативно-правового акта такое направление на лечение военнослужащему другого округа может дать и Военный комиссар имеющий военно-врачебную комиссию через которую и призывался данный военнослужащий и который сейчас и находится на территории этого Военкома?

 Военный комиссар может направить на лечение только военнослужащего пребывающего в отпуске или в командировке на территории обслуживания военкомата.

На это обращает внимание указ Президента РФ от 25.03.2015 N 161 «Об утверждении Устава военной полиции Вооруженных Сил Российской Федерации и внесении изменений в некоторые акты Президента Российской Федерации»

46.1. Военный комендант гарнизона(военный комиссар) немедленно сообщает о причине задержки военнослужащего командиру воинской части, из которой он прибыл, если военнослужащий, находящийся в отпуске или командировке, не может прибыть к месту своей службы вследствие заболевания или иных независящих от него обстоятельств.
В случае заболевания военнослужащего, находящегося в отпуске или командировке, военный комендант гарнизона(военный комиссар) направляет его на осмотр (медицинское освидетельствование) к врачу, в том числе для решения вопроса о необходимости оказания медицинской помощи в стационарных условиях.

4. Какой документ он должен выдать?

 И также оформляется и выдается направление на осмотр и лечение.