Скажите пожалуйста имеет ли право она так делать?

Короткий ответ: Да, действия начальника отдела кадров некорректны с точки зрения трудовой этики и, что важнее, могут нарушать законодательство о защите ваших персональных данных и праве на неприкосновенность частной жизни.

1. Нарушение законодательства о персональных данных
Самое главное — это незаконный сбор и распространение информации о состоянии здоровья вашего ребенка. Вот что говорит закон:

Информация о здоровье — тайна. Сведения о факте обращения за медицинской помощью и диагнозе (вашем или ребенка) являются врачебной тайной -3. Работодатель не имеет права собирать, обрабатывать и тем более распространять такую информацию без вашего согласия -2.
Источник информации должен быть законным. По закону (ст. 86 ТК РФ), все персональные данные о работнике работодатель должен получать только у самого работника -2-8. Если он хочет получить их где-то еще (например, у ваших коллег, знакомых, соседей), он обязан заранее уведомить вас об этом в письменной форме и получить ваше согласие -5.
Что сделала начальник отдела кадров? Она не только попыталась получить информацию о вас у третьих лиц без вашего ведома и согласия, но и, обсуждая это с посторонними людьми, фактически распространила сведения о том, что вы находитесь на больничном. Сам факт вашего отсутствия на работе по болезни — это тоже информация, относящаяся к вашей частной жизни.
Таким образом, своими действиями она нарушает требования статей 86 и 88 Трудового кодекса РФ, а также Федерального закона «О персональных данных» -2-5-8.

2. Нарушение норм деловой этики
Помимо юридической стороны, ее поведение является грубым нарушением служебной этики и субординации.

Обсуждение за спиной. Профессиональный руководитель или сотрудник отдела кадров не должен обсуждать личные качества работника или обстоятельства его жизни с третьими лицами -10.
Конструктивная критика. Даже если у работодателя есть вопросы к частым больничным, решать их нужно в личной беседе с вами, опираясь на факты (количество дней нетрудоспособности), а не на домыслы о причинах болезней -1. Публичное обсуждение или сбор компромата за спиной недопустимы -1-7.
3. Что вы можете предпринять?
Ситуация неприятная, но не безвыходная. Ваши действия могут быть разными — от мягких до жестких, в зависимости от того, насколько вы хотите урегулировать конфликт.

Этап 1: Зафиксируйте факты (если решите действовать).
Самое сложное в таких ситуациях — доказать, что разговоры были. Если вы решите жаловаться, понадобятся доказательства:

Попробуйте спокойно поговорить с тем человеком, которому звонила начальник отдела кадров. Спросите, о чем именно она спрашивала, что говорила. Если этот коллега готов подтвердить свои слова, попросите его об этом в будущем (возможно, как свидетеля).
Фиксируйте даты и время, когда вам стало известно об этих обсуждениях.
Этап 2: Спокойный разговор.
Вы имеете полное право подойти к ней и задать вопросы. Это можно сделать без агрессии, но уверенно. Например:

«Мне стало известно, что Вы интересовались у [имя коллеги] причиной моей болезни и обсуждали количество моих больничных. Мне это очень неприятно. Я хотела бы напомнить, что информация о состоянии здоровья — это врачебная тайна, и, по закону, обсуждать её с третьими лицами Вы не имеете права. В следующий раз, если у Вас возникнут вопросы, пожалуйста, обращайтесь напрямую ко мне.»
Этап 3: Официальная жалоба.
Если разговор не помог, или ситуация повторится, вы имеете право написать жалобу на имя генерального директора (или другого вышестоящего руководителя). В жалобе опишите ситуацию и укажите на нарушение ваших прав, ссылаясь на:

Статью 86 ТК РФ (требования к обработке персональных данных) -2.
Статью 13.11 КоАП РФ (нарушение законодательства о персональных данных, за которое работодателя могут оштрафовать) -6.
Федеральный закон «Об основах охраны здоровья...» (о врачебной тайне) -6.
Вы имеете право потребовать, чтобы работодатель прекратил незаконный сбор и распространение ваших данных. За разглашение персональных данных виновные лица могут быть привлечены к дисциплинарной, административной или даже уголовной ответственности.

Резюме
Ваши чувства абсолютно оправданы. Начальник отдела кадров превысила свои полномочия и нарушила закон. Вы имеете полное право на защиту своей частной жизни и спокойно ухаживать за больным ребенком, не опасаясь обсуждений за спиной.