Вопрос такой: какие последствия, если после увольнения супруг не явится в военкомат?

Если речь о военных сборах, то Вашему мужу нужны основания для освобождения от них согласно статьи 55 ФЗ О воинской обязанности  военной службе

www.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc&base=LAW&n=503686&dst=105&cacheid=0399C263A789D0301B8C57D4A61AABAD&mode=splus&rnd=OJ16WlUQVEUEfrjn#k34AYlUbRDkgRXqB

после чего его направили на медкомиссию.

 Во-первых, нужно понимать в связи с чем его при получении мобилизационного предписания направили для прохождения медицинского освидетельствования.

Было ли оно обоснованно, поскольку неявка на него без уважительных причин влечет риск ответственности по ст. 21.6 КоАП РФ за уклонение от его прохождения.

Направить его могли, как полагаю в связи с возможным призывом на военные сборы, поскольку Вы ссылаетесь на ст. 55 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе».

2. От военных сборов также освобождаются:
б) граждане, проходящие службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации,

При поступлении на службу в Росгвардию он действительно подлежал освобождению от призыва, а следовательно не было оснований для явки на медицинское освидетельствование.

Во-вторых, на него в любом случае независимо от места работы и рода занятий в силу ст. 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» лежит обязанность по уведомлению военкомата  в письменной или электронной форме об изменении места работы.

Неисполнение данного требования влечет риск негативных последствий в виде административной ответственности по ч. 2 ст. 21.5 КоАП РФ

2. Несообщение гражданином в установленном федеральным законом порядке в военный комиссариат или орган, осуществляющий первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования,места работы (учебы) или должности, сведений о переезде на новое место пребывания, не подтвержденное регистрацией, — влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи до пяти тысяч рублей.

Но военкомат начал угрожать начальнику отделаштрафными санкциями по ст.24.4 КоАП РФ,

 Ст. 24.4 КоАП РФ тут не применима, в ней говориться о возможности заявления ходатайств лицами, участвующими в деле.

Как полагаю, Вам военкомат заявил о применении ст. 21.4 КоАП РФ — но к Вашему супругу она никак не относится.

Риск ответственности для него возможен по ст. 21.5 КоАП РФ в случае, если он не предоставил сведения об изменении места работы.

Но его вполне можно избежать, письменно уведомив военкомат о последующем увольнении с работы, приложив копию выписки из приказа об увольнении. 

Поэтому в данном случае будут иметь значение какие документы были получены мужем, какие действия предпринял военкомат после того, как получил уведомление от мужа о невозможности явки по повестки и была ли ему направлена новая повестка.

Если данная повестка ему была вручена с требованием о повторном посещении военкомата — он, как и сказал, может быть привлечен по ч. 1 ст. 21. 5 КоАП РФ.

Если же такой повестки не было, то он должен лишь уведомить военкомат о смене работы и привлечение к ответственности, при соблюдении сроков о таком уведомлении не наступит.

Кроме того, важно, уведомлял ли ранее, при поступлении в Росгвардию супруг военкомат. Если нет, то вполне возможно привлечение к ответственности по ч.2 ст. 21.5 КоАП РФ ввиду того, что сроки для данного уведомления истекли.

То есть, он может так же письмом сообщить об увольнении. И ждать новую повестку, в которой обязан расписаться? 

Светлана, да, он должен уведомить военкомат об увольнении во избежании привлечения по ч. 2 ст. 21.5 КоАП РФ и в дальнейшем возможен его призыв на военные сборы.