Также им сказали, что измерительные приборы 2001 года и современные, это большая разница

Здравствуйте! Вы оказались в непростой, но решаемой ситуации, и я помогу разобраться.

Если ваш участок был отмежёван в 2001 году и данные внесены в ЕГРН, то его границы считаются установленными в соответствии с законом. Даже если тогда использовались менее точные приборы, границы признаются действительными, пока не доказано иное. Перенос границы возможен только по вашему добровольному согласию. Никто не имеет права заставить вас сдвинуть границу в ущерб вашей территории.

Отказ в межевании вашим соседям связан, судя по всему, с тем, что они построили гараж, захватив часть вашей территории. Это их ошибка, а не ваша. Самовольное строительство, даже если оно существует давно, не даёт права на землю. Более того, если вы сейчас уступите землю, вы рискуете потерять часть участка и фактически узаконить чужое нарушение.

Ваши действия:

Не соглашайтесь на смещение границы, если это против ваших интересов.
Уточните, зарегистрированы ли ваши границы в ЕГРН (через выписку).
Если соседи будут настаивать или подавать в суд — собирайте документы: межевой план 2001 года, выписку из ЕГРН, фотографии участка, подтверждение границ по факту (если они зафиксированы забором или иными объектами).
На всякий случай, можете заказать актуальную кадастровую съёмку, чтобы сравнить с их и своей. Это поможет, если спор дойдёт до суда.
Не стоит волноваться — в правовой позиции вы находитесь значительно крепче. Соседи просто пытаются переложить последствия своего нарушения на вас, но у них это получится только при вашем согласии или судебном решении, а в суде у них мало шансов, если вы будете держаться твёрдо.

С наилучшими пожеланиями,
Хабас Феликсович.