Отношения не заладились еще до рождения нашего ребенка

Здравствуйте. Я так понимаю Вы говорите о моральном вреде, но тут объективно шансы у Вас невысокие. их право было обратиться с заявлением к участковому. Плюс надо показать и  доказать какой моральный вред причинён. Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 20.12.1994 N 10 «Некоторые вопросы применения законодательства о компенсации морального вреда»

Моральный вред, в частности, может заключаться в нравственных переживаниях в связи с утратой родственников, невозможностью продолжать активную общественную жизнь, потерей работы, раскрытием семейной, врачебной тайны, распространением не соответствующих действительности сведений, порочащих честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, временным ограничением или лишением каких-либо прав, физической болью, связанной с причиненным увечьем, иным повреждением здоровья либо в связи с заболеванием, перенесенным в результате нравственных страданий и др.

Да и сумма будет явно небольшая.

Здравствуйте. Обращайтесь в суд с исковым заявлением об компенсации морального вреда. 

ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда
 

 
Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

 
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.

Здравствуйте, Наталья. 

Теперь хочу тоже обратиться с заявлением, так ка эта ситуация повлияла на меня и ребенка психологически, плюс ко всему, с другой стороны нашего участка живут соседи, родственники тех, кто написал жалобу участковому.

 Соседи написали Заявление в Полицию, как я поняла, по поводу нарушения их спокойствия криками ребенка. В этом случае приходит участковый/сотрудник отдела ПДН, отбирает объяснения Заявителя и другой стороны, после чего дает письменный ответ Заявителю о том, что «в Вашем заявлении не указано информации о правонарушении» или «с мамой мальчика проведена беседа...». 

Обращения граждан в различные органы является конституционным правом граждан России согласно ст. 33 Конституции РФ:

Граждане Российской Федерации имеют право обращаться лично, а также направлять индивидуальные и коллективные обращения в государственные органы и органы местного самоуправления.

http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_28399/33eccb6261e315af07ad7d39f68d5bc470b60707/

Поэтому обратиться с Иском о защите чести и достоинства (ст. 152 ГК РФ) или взыскании компенсации морального вреда (ст. 151 ГК РФ) в связи с нарушением Ваших нематериальных прав — у Вас не получится (заведомо проигрышное дело). С вышестоящими ответами юристов не согласна. 

Аналогичное Заявление в полицию — тоже ни к чему не приведет, если нет реальных оснований. 

Поэтому, остается только принять их право как данность и/или примириться с ними.