Могут ли во время моего отъезда заходить в арендованную квартиру, например, мои родители, если надо будет взять какие либо вещи, либо остаться на ночь?

Здравствуйте, Алексей. 

При найме жилья, на время найма ее владельцем являетесь Вы, Вы несете ответственность собственником квартиры за сохранность находящегося в квартире имущества и самой квартиры. И Вы же можете принимать гостей, в т.ч. с ночевкой (не проживанием), в т.ч. в Ваше отстутствие. 

Поэтому давать ключи собственнику квартиры и вообще допускать его допуск в квартиру я бы не рекомендовала, т.к. много споров потом кто что сломал и кто в чем виновен. 

Вы должны будете все сдать в исправном состоянии и на Вас ответственность с презумпцией вины (!).