Здравствуйте!
Долги по коммунальным платежам не являются препятствием для снятия с регистрационного учета по месту жительства, но в то же время снятие с регистрационного учета не освобождает от погашения долгов. Вы можете (независимо от погашения задолженности по коммунальным платежам) подать в территориальный орган ФМС России заявление о регистрации по новому месту жительства, при этом с регистрационного учета по месту жительства в квартире бывшего мужа вы будете сняты автоматически (п. 31 Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утв. Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713).
Поскольку в квартире вы не проживаете, то с момента регистрации расторжения брака с вашим бывшим мужем обязанность по внесению платы за квартиру и коммунальные услуги у вас прекращается.
Неиспользование нанимателями помещений не является основанием невнесения платы за жилое помещение и коммунальные услуги (ч. 11 ст. 155 Жилищного кодекса РФ). Т.е. до момента регистрации расторжения брака, несмотря на фактическое ваше проживание в другом месте, вы несете с бывшим мужем солидарную обязанность по коммунальным платежам (ч. 2 ст. 69 Жилищного кодекса РФ), т.е. наймодатель вправе требовать погашения задолженности как от вас, так и от бывшего мужа, или от обоих совместно.