И давать трудовую если скажут, что задним числом сделают запись если я этого не хочу?

Добрый день! В сентябре устроилась на работу. С 15 ноября должны были оформить официально, но трудовая до сих пор у меня дома, заявления на приём я не писала, трудового договора нет. Сейчас увольняюсь ( январь 2022).нужно ли мне отрабатывать? И давать трудовую если скажут, что задним числом сделают запись если я этого не хочу? Зарплата всегда только наличкой.