Может ли собственник машины написать заявление от руки на другое лицо с правом лица на продажи машины, обязательно ли заверять в Нотариусе?

НЕт не может, данные действия можно произвести только на основании нотариальной доверенности в соответствии с положениями ГК РФ. Он может как вариант подписать договор со своей стороны а показать машину может кто угодно , если это не отпугнет покупателя то пройдет. Напомню , что присутствие продавца в ГИБДД не требуется, вот так можно обойти доверенность, действия формально законные так как подпись на документах продавца.