Как сохранить педагогический стаж если я увольняюсь 18 мая, а на новой могут принять только с 1 сентября?

Сейчас для назначения пенсии и оплаты больничного листа учитывается общий стаж. Непрерывность уже ни для чего не имеет значения. Для пенсии вам надо отработать 25 лет педагогом. Для получения больничного листа 100% надо иметь не менее 8 лет стажа. 

Статья 30. Сохранение права на досрочное назначение страховой пенсии

1. Страховая пенсия по старости назначается ранее достижения возраста, установленного статьей 8 настоящего Федерального закона, при наличии величины индивидуального пенсионного коэффициента в размере не менее 30 следующим лицам:

19) лицам, не менее 25 лет осуществлявшим педагогическую деятельность в учреждениях для детей, независимо от их возраста с применением положений части 1.1 настоящей статьи;