Смогу ли я переоформить договор на обучение сына?

Нет, сын не сможет получать вычет за ваше обучение.
Вычет можно получить только за свое обучение или обучение своих детей, подопечных. В то же время, если Вы в 2019 году получали официальную зарплату, то за 2019 год получить вычет Вы сможете, подав соответствующие документы в налоговую (несмотря на потерю работы, НДФЛ-то за Вас работодатель платил)

ст. 219 НК РФ.
2) в сумме, уплаченной налогоплательщиком в налоговом периоде за свое обучение в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, — в размере фактически произведенных расходов на обучение с учетом ограничения, установленного пунктом 2 настоящей статьи, а также в сумме, уплаченной налогоплательщиком-родителемза обучение своих детей в возрасте до 24 лет, налогоплательщиком-опекуном (налогоплательщиком-попечителем) за обучение своих подопечных в возрасте до 18 лет по очной форме обучения в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, — в размере фактически произведенных расходов на это обучение, но не более 50 000 рублей на каждого ребенка в общей сумме на обоих родителей (опекуна или попечителя).