Закончил аспирантуру, военкомат требует справку с диссертационного совета для продления отсрочки, но у меня

Ведь законом не регламентированно какие именно из этих документов нужны

 Перечень документов регламентирован.

Основанием предоставления отсрочки от призыва в силу ст. 24 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» является продление ее на время защиты квалификационной работы (диссертации), но не более одного года после завершения обучения по соответствующей образовательной программе высшего образования.

Перечень документов, предоставляемых в военкомат оговорен в постановлении Правительства   РФ от 11.11.2006 N 663 «Об утверждении Положения о призыве на военную службу граждан Российской Федерации» которым как раз и указывается

справка, подписанная руководителем или заместителем руководителя образовательной организации или научной организации, в которой указываются дата и номер приказа о его зачислении на обучение и дата окончания обучения и защиты квалификационной работы (диссертации), по форме согласно приложению N 5;

Более того, в силу названного постановления Правительства РФ данная справка Вами предоставляется  ежегодно, в сентябре — октябре.

Поэтому требования военкомата формально обоснованы.

До того момента, пока Вы не сможете предоставить им справку об обучении по установленной форме (https://base.garant.ru/190203/#block_15000

— у него нет оснований продлевать Вам отсрочку.