Или в нынешнее время у обычных контрактников не осталось выбора?

Уважаемый Дмитрий

в силу ст. 51 ФЗ 53 Военнослужащий подлежит увольнению с военной службы по истечении срока контракта. Однако в силу Указ Президента РФ от 21.09.2022 N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации» в котором среди прочего указано то, что контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным настоящим Указом а так же то, что в период частичной мобилизации следующие основания увольнения с военной службы военнослужащих, проходящих военную службу по контракту, а также граждан Российской Федерации, призванных на военную службу по мобилизации в Вооруженные Силы Российской Федерации: а) по возрасту — по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе; б) по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими; в) в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы. В связи с вышеизложенным можно сделать вывод о том что действия вашего начальства к сожалению соответствуют букве закона.

Здравствуйте! 

Контракт закончен в мае этого года

Это не так. Контракт продолжает действовать и Вы продолжаете службу по контракту.

Указ Президента РФ от 21.09.2022 N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации»

4. Контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным настоящим Указом.

Как можно грамотно объяснить мое нежелания выполнить такие задачи, можно ли потребовать перевод?

Вы можете обратиться с рапортом в силу закона. А вот какой результат будет по итогам его рассмотрения будет решать командование.

Указ Президента РФ от 10.11.2007 N 1495 «Об утверждении общевоинских уставов Вооруженных Сил Российской Федерации»

106. Военнослужащие имеют право обращаться лично, а также направлять письменные обращения (предложения, заявления или жалобы) в государственные органы, органы местного самоуправления и должностным лицам в порядке, предусмотренном законами Российской Федерации, другими нормативными правовыми актами Российской Федерации и настоящим Уставом.

109. Военнослужащий, подавший обращение (предложение, заявление или жалобу), имеет право:

получать письменный ответ по существу поставленных в обращении (предложении, заявлении или жалобе) вопросов или уведомление о переадресации письменного обращения (предложения, заявления или жалобы) в иные органы или должностному лицу, в компетенцию которых входит решение указанных вопросов;

На основании п.107 

Должностные лица воинской части должны внимательно относиться к поступившим обращениям (предложениям, заявлениям или жалобам). Они несут личную ответственность за своевременное их рассмотрение и принятие мер.

Должностные лица воинской части обязаны рассмотреть полученное обращение (предложение, заявление или жалобу) и, в случае если оно будет признано обоснованным, немедленно принять меры для выполнения предложения или удовлетворения просьбы подавшего обращение.

Поэтому все, что Вы можете сделать в сложившихся условиях — это подать рапорт на имя командования по существу вопроса.