Если писать исковое, то какими статьями руководствоваться?

Здравствуйте, Мария!

Формально Вас никто не увольнял. Вы утверждаете, что

В июне 2015 года я оформилась по трудовому договору

 В соответствии со ст. 16 ТК РФ основанием для возникновения трудовых отношений является именно он, а не запись в трудовой книжке. Таким образом, через 5 дней Вы должны были подать заявление по собственному желанию, как предписывает п. 3 ст. 77 ТК РФ.

Поскольку Вы были на испытательном сроке, в соответствии со ст. 71 ТК РФ, правило о предупреждении работодателя за 2 недели, вытекающее из ст. 80 ТК РФ, к Вам не применялось. Предупредить работодателя нужно было в письменной форме за 3 дня.

Поэтому нельзя сказать, что Вы уволились по собственному желанию. Вы просто перестали ходить на работу.

Ниже продолжу.

Здравствуйте, Мария.

Поскольку Ваша мама не только была допущена к работе, но и подписала трудовой договор, то и расторгать трудовые отношения следовало в установленном порядке, с учетом условия об испытательном сроке  (ст.ст. 71, 80 ТК РФ), уведомив работодателя в ПИСЬМЕННОЙ форме за 3 дня.

Цель: 1. Получить все таки увольнение задним числом, с того момента как я там перестала работать 2. Убрать из отчета в ПФР данные об этой организации с 2015 года по возможности

можно, конечно, попробовать реализовать (исковые требования нужно, конечно, сформулировать несколько иначе), но гарантий Вам никто не даст с учетом вышесказанного. На мой взгляд, шансов не очень много, особенно если говорить о признании отношений прекратившимися с 2015 года. Скорее уж с 2018.

Что Вы можете использовать в поддержку позиции о том, что трудовые отношения прекратились несмотря на отсутствие письменного заявления об увольнении:

1. 

в 2018 году мне от нее как я уже поняла намного позже, т.к. адрес был указан г. Пермь, а трудоустраивалась я в г. Москве, было прислано уведомление о том, чтобы я явилась на работу и объяснила свое отсутствие. Спустя 3 года!

 по закону работодатель мог, не получив от Вас объяснений (ст. 193 ТК РФ), применить дисциплинарное взыскание в виде увольнения. Однако, это право работодателя, а не обязанность. Тем не менее, можно сослаться на злоупотребление работодателем своим правом спустя такой длительный период отсутствия работника. Но опять же, именно судебная практика и практика проверок инспекциями труда создали такие условия, что работодателям более «безопасно» сохранять трудовые отношения с такими «потеряшками» — работниками, с которыми не расторгнуты формально трудовые отношения, на работу они не ходят и не идут на контакт. 

2. 

Куда явится и кем я «работаю» не было указано в письме. В связи с этим я подумала, что оно либо адресовано не мне, либо это чья та злая шутка и не стала на него реагировать, тем более что никаких контактных данных также указано не было.

 если письмо сохранилось — было бы оптимально, если нет, то Вы должны быть уверены в его содержании, потому что работодатель может его представить. То есть следует акцентировать внимание на том, что это письмо не могло заставить «вспомнить» давнего работодателя, у которого проработали несколько дней всего.