Можно ли получить страховку, если травма произошла на 13 день, а договор вступает в силу на 15?

Здравствуйте, Татьяна, да, к сожалению получается именно так. В соответствии со ст.957 Гражданского кодекса РФ —

Договор страхования, если в нем не предусмотрено иное, вступает в силу в момент уплаты страховой премии или первого ее взноса.

 Страхование, обусловленное договором страхования, распространяется на страховые случаи, происшедшие после вступления договора страхования в силу, если в договоре не предусмотрен иной срок начала действия страхования