Можно ли опекаемому ребенку подрабатывать в сфере расклейки листовок?

Здравствуйте, работать по трудовому договору официально, по общему правилу, можно с 16 лет. 

ТК РФ Статья 63. Возраст, с которого допускается заключение трудового договора

Заключение трудового договора допускается с лицами, достигшими возраста шестнадцати лет,

В случае, если несовершеннолетний достиг возраста 15 лет, он может трудоустроиться при условии, что он получил общее образование либо продолжает получать общее образование иной форме обучения, но трудоустройство происходит для освоения образовательной программы, что в вашем случае не подходит.

ТК РФ Статья 63

С 14 лет также можно работать, но с согласия родителей (либо лиц, их заменяющих — усыновителей либо попечителей). Но для этого вам нужно письменное согласия одного из родителей (попечителя) и органа опеки и попечительства. 

Разумеется все перечисленное относится к заключению официального трудового договора.