Имеют ли право не брать меня на работу в таком случае?

Добрый день, Алина!

Несколько сумбурно у Вас указано. По какой причине нет возможности трудоустроиться? Вам отказывают или Вы не хотите? С кем заключался договор (Наименование Заказчика). Лучше договор сюда прикрепить. Так проще будет

Здравствуйте Алина.

В Хабаровске (один и тот же минздрав) не берут на работу пока вопрос не решён

Ну Вы наверное понимаете, что по этой причине отказать в приеме на работу не имеют никакого права.

В Трудовом кодексе РФ прямо указано следующее:

ТК РФ Статья 3. Запрещение дискриминации в сфере труда
 

Каждый имеет равные возможности для реализации своих трудовых прав.
Никто не может быть ограничен в трудовых правах и свободах или получать какие-либо преимущества в зависимости от пола, расы, цвета кожи, национальности, языка, происхождения, имущественного, семейного, социального и должностного положения, возраста, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности или непринадлежности к общественным объединениям или каким-либо социальным группам, а также от других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работника.

Т.е. отказ именно по этой причине незаконен в любом случае.

Хотя понятно, что неофициально они пытаются на Вас надавить, чтобы Вы погасили штраф.

Пытаюсь мирно урегулировать вопрос и увеличить срок выплаты с 3х месяцев до 6. Организация не отвечает на запросы по существу. 

Нужно посылать не запросы, а подать письменное заявление, в котором указать, что Вы решили в одностороннем порядке досрочно прекратить правоотношения в рамках договора, готовы понести обязательства по нему в части выплаты штрафа, требуете подписать соглашение о досрочном прекращении договора, с указанием в нем порядка и срока погашения по договоренности между Вам и ними в случае бездействия с их стороны или отказа будете обращаться в прокуратуру для проведения проверки.

Здесь нужно понимать, что расторгнуть договор Вы вправе, заставить его выполнять Вас никто не может, но при этом Вы будете нести санкции за такое расторжение, на что Вы как я понял согласны.

Заявление подавайте в порядке

Федеральный закон «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации» от 02.05.2006 N 59-ФЗ 

Статья 2. Право граждан на обращение
 

1. Граждане имеют право обращаться лично, а также направлять индивидуальные и коллективные обращения, включая обращения объединений граждан, в том числе юридических лиц, в государственные органы, органы местного самоуправления и их должностным лицам, в государственные и муниципальные учреждения и иные организации, на которые возложено осуществление публично значимых функций, и их должностным лицам.

Статья 9. Обязательность принятия обращения к рассмотрению
 

1. Обращение, поступившее в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу в соответствии с их компетенцией, подлежит обязательному рассмотрению.

Если не дадут ответа Вы можете написать в прокуратуру и о нарушении этого закона наложат штраф.

КоАП РФ Статья 5.59. Нарушение порядка рассмотрения обращений граждан

http://www.consultant.ru/docum...

Направьте его заказным письмом с уведомлением и описью вложения, приложите копию договора.