Имеет ли юридическую силу доп. Соглашение к договору об оказании услуг об увеличении его суммы, если оно не подписано второй стороной, но по факту ей произведена оплата по нему?

Здравствуйте! Ответьте, пожалуйста, на следующий вопрос. Заключили с контрагентом договор на оказание услуг. Оплата им по нему была совершена двумя платежами. Однако сумма, указанная в договоре — это только первый платеж. Вторая сумма была оплачена по доп. соглашению, увеличивающему сумму договора, которое контрагент не подписал, но оплатил по факту! Сейчас между нами идет суд. Факт оказания услуг доказан, однако у судьи возникли вопросы, откуда взялась вторая сумма, если в договоре прописана другая. Соглашение без подписи еще не показывали судье. Как можно доказать, что второй платеж имеет место к сумме договора. Хоть нет подписи, но есть же фактическая оплата. Применима ли здесь норма ч. 3 ст 438 ГК? По смыслу, казалось, бы да, но по логике как доказать, что при изменении суммы не изменился и предмет, например с доп. суммой возникли доп. услуги, ведь соглашение с нашей стороны можно было оформить и задним числом без подписи второй стороны. Заранее спасибо!