Удовлетворить или отказать в предоставлении отпуска без содержания?

Добрый день, Ирина. Да, работник имеет право на такой отпуск:

ТК РФ, Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Согласно п. 4 ч. 2 ст. 128 Трудового кодекса РФ,

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;

Вы не можете отказать работнику по его заявлению, поскольку требование закона категорично. В качестве наказания за подобное нарушение, Вы можете быть привлечены к административной ответственности за нарушения трудовых прав данного работника.