Если возможно, то способ с алиментным соглашением несёт юридическую силу?

Здравствуйте Ирина! На выплату алиментов Вы можете подать и в период брака:

СК РФ статья 80. Обязанности родителей по содержанию несовершеннолетних детей

1. Родители обязаны содержать своих несовершеннолетних детей. Порядок и форма предоставления содержания несовершеннолетним детям определяются родителями самостоятельно.
Родители вправе заключить соглашение о содержании своих несовершеннолетних детей (соглашение об уплате алиментов) в соответствии с главой 16 настоящего Кодекса.

То есть — закон не ограничевает права требовать адименты в период брака. 

Здравствуйте.

Возможно ли подать на алименты, не находясь в разводе?

Да, это  возможно, но  только  путём  заключения  соглашения об  уплате  алиментов, а если  в судебном  порядке — есть ограничения.

Если впоследствии на отца ребёнка предыдущая жена тоже подаст на алименты через суд, суду будет известен тот факт, что муж уже выплачивает на одного ребёнка алименты мне по алиментному соглашению?

если  будет взыскание  алиментов   в  судебном  порядке  в  условиях  уже  имеющегося  соглашения  об  уплате  Вам алиментов, тогда  суд  может  понизить  сумму  алиментов,  причитающуюся  в  пользу  предыдущей  жены Вашего супруга.

Семейный  кодекс РФ

Статья 81. Размер алиментов, взыскиваемых на несовершеннолетних детей в судебном порядке

2. Размер этих долей может быть уменьшен или увеличен судом с учетом материального или семейного положения сторон и иных заслуживающих внимания обстоятельств.

Ирина,  для  получения  подробного ответа по  этому, или  другому  вопросу, напишите  мне  сообщение  в  мой чат  для  заказа  платной  консультации.