Он предлагает рефинансировать ипотеку в другом банке, если я соглашусь, не останусь ли я без своей доли в квартире?

Добрый день Разиля

По семейному законодательству, все имущество купленное в браке считается совместно нажитое, если не доказано иное.

СК РФ Статья 34. Совместная собственность супругов 

1. Имущество, нажитое супругами во время брака, является их совместной собственностью.
2. К имуществу, нажитому супругами во время брака (общему имуществу супругов), относятся доходы каждого из супругов от трудовой деятельности, предпринимательской деятельности и результатов интеллектуальной деятельности, полученные ими пенсии, пособия, а также иные денежные выплаты, не имеющие специального целевого назначения (суммы материальной помощи, суммы, выплаченные в возмещение ущерба в связи с утратой трудоспособности вследствие увечья либо иного повреждения здоровья, и другие). Общим имуществом супругов являются также приобретенные за счет общих доходов супругов движимые и недвижимые вещи, ценные бумаги, паи, вклады, доли в капитале, внесенные в кредитные учреждения или в иные коммерческие организации, и любое другое нажитое супругами в период брака имущество независимо от того, на имя кого из супругов оно приобретено либо на имя кого или кем из супругов внесены денежные средства.

Поэтому то что вы рефинансируете ипотеку в не брака роли не играет по той простой причине что сама квартира куплена в браке.