Может ли он оставаться с ночёвкой у меня?

Добрый вечер, Петр! Если порядок общения с ребенком не установлен соглашением или судом, то вы можете с ним видеться сколько хотите и когда хотите. 

СК РФ Статья 66. Осуществление родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка
 

1. Родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет права на общение с ребенком, участие в его воспитании и решении вопросов получения ребенком образования.

Добрый день. Если в судебном порядке не определено время Вашего общения с ребенком, то Вы имеете на общение с ребенком равные с матерью права, то есть общаться с ребенком в любое время и оставлять его у себя на ночь.

Вы также можете обратиться ко мне в чат для более подробной консультации (в том числе с изучением имеющихся у Вас материалов) или составления необходимых юридических документов (заявлений, жалоб, ходатайств и т.д.) за небольшую цену .