Подскажите пожалуйста, что делать в данной ситуации, куда обращаться, что ускорить процесс получения квартиры, какие следующие шаги

С учетом моего ответа выше далее:

Право за сиротой в данном случае уже признали и включили в соответствующий Список на улучшение жилищных условий, и обязаны   предоставить жилое помещение в силу положений статьи ЖК РФ Статья 92. Виды жилых помещений специализированного жилищного фонда, можете ознакомиться с ее полным содержанием по следующей ссылке:http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_51057/efcb64953d29f609d8bd6ce72849678dd48c75e6/

Из статьи следует, что:

1. К жилым помещениям специализированного жилищного фонда (далее — специализированные жилые помещения) относятся:
8) жилые помещения для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей.

Заключить договор, с учетом положений  Постановления Правительства РФ от 28 июня 2013 года N 548   от 28 июня 2013 года N 548  «Об утверждении типового договора найма жилого помещения для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей», можете с ним ознакомиться полностью пройдя по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/499030575

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом моих ответов  выше далее:

Ускорить  процесс можно  через суд, т.е. в судебном порядке обязав уполномоченный орган предоставить жилое помещение, тогда жильем обязаны будут обеспечить вне общей очереди, а по решению суда. что быстрее, хотя тоже не сразу, т.е. жильем тем, у кого имеются вступившие в законную силу решения судов предоставляется быстрее, но тоже в порядке их очередности так как таких " просудившихся" также формируется определенное количество.

И в Вашем случае это основание уже имеется.

Порядок регулируется Постановлением Правительства РФ от 4 апреля 2019 года N 397  «О формировании списка детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц, которые относились к категории детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, и достигли возраста 23 лет, которые подлежат обеспечению жилыми помещениями, исключении детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, из списка в субъекте Российской Федерации по прежнему месту жительства и включении их в список в субъекте Российской Федерации по новому месту жительства», можете ознакомиться с ним полностью пройдя по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/554126384

Из Постановления следует, что:

15. В случае если в отношении детей-сирот, лиц из числа детей-сирот, лиц, которые достигли возраста 23 лет, которые включены в список,имеется вступившее в законную силу решение суда об обязании предоставить жилое помещение по договору найма специализированного жилого помещения, в список включается соответствующая информация на основании заверенной в установленном порядке копии решения суда, представленной в уполномоченный орган заявителем (представителем заявителя), без учета срока, предусмотренного пунктом 16 настоящих Правил.

Если решение суда долгое время не исполняется, также есть право на обращение   в суд с иском о  присуждении компенсации за нарушение права на исполнение судебного акта в разумный срок, если они долго не будут выполнять решение суда,  вот пример такого решения суда суда по ссылке:

Решение № 3А-285/2017 3А-36/2018 3А-36/2018(3А-285/2017;)~М-320/2017 А-36/2018 М-320/2017 от 30 января 2018 г. по делу № 3А-285/2017-https://sudact.ru/regular/doc/BAYdgzON5OQa/

Свои уточнения, Вы также можете писать мне в личный чат, пройдя по ссылке на мой личный профиль:https://pravoved.ru/lawyer/798541/

нажав кнопку «Общаться в чате».