Что посоветуете, как обратиться в владельцам той собаки?

Добрый день, Анна!
Могу посоветовать Вам обратиться в письменной форме к владельцу собаки с требованием о взыскании материального ущерба, компенсации морального вреда (приложив договор с клиникой, кассовый чек и другие документы, которые подтвердят Ваши расходы).

По общему правилу, установленному в п. 1 ст. 1064 ГК РФ вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.

Лицо, причинившее вред, освобождается от возмещения вреда, если докажет, что вред причинен не по его вине (п. 2 ст. 1064 ГК РФ).
В силу ч. 1 ст. 137 ГК РФ к животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное.
В силу ст. 210 ГК РФ, собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества, если иное не предусмотрено законом или договором.

Таким образом,  у Вас есть законные основания для подобного рода обращения. Поскольку собака в рассматриваемой ситуации имеет владельца, действия животного должны контролироваться ее владельцем. В случае, если требования не будут удовлетворены в добровольном порядке, обратитесь в суд.