Что можно сделать в такой ситуации?

Здравствуйте, Вам в первую очередь стоит взыскать с него алименты на содержание детей, раз он отказывается помогать добровольно, в том случае, если детям нет трех лет, то Вы обладаете правом взыскать алименты и на свое содержание. Что касается проживания в квартире, я предполагаю, что поскольку квартира была приобретена в браке, то и он и Вы являетесь собственниками, тут важно понимать, какой у Вас вид собственности (общая совместная или определены доли у каждого). В целом, если доли определены, Вы можете предложить ему выкупить Вашу долю, либо сами купить его долю, данное право регламентировано ст.250 Гражданского кодекса РФ.