Статья 426 ГК

Ирина, вы не вправе отказать клиенту, но вы можете перенести его заказ на другое время (день), поскольку  в назначенное время он не явился, зафиксируйте это  (у вас должны быть доказательства опоздания клиента — журнал и т.д., свидетели) 

Клиент отказался от другого времени. К тому же, мне кажется, что есть зацепка в кодексе, что отказать можно, если услуга не может быть оказана качественно. А как оказать услугу качественно, если на нее отпущен час, а клиент пришел на 20 минут позже?

Нарушил договор оказания услуг. В соответствие со ст. 783 ГК РФ, к договору возмездного оказания услуг применяются правила подряда, в части не противоречащей. По смыслу ст. 719 ГК РФ, подрядчик вправе не приступать к работе, а начатую работу приостановить в случаях, когда нарушение заказчиком своих обязанностей по договору подряда, препятствует исполнению договора подрядчиком, а также при наличии обстоятельств, очевидно свидетельствующих о том, что исполнение указанных обязанностей не будет произведено в установленный срок. Если иное не предусмотрено договором подряда, подрядчик при наличии обстоятельств, указанных в пункте 1 настоящей статьи, вправе отказаться от исполнения договора и потребовать возмещения убытков (если они есть). 

Аналогичным образом этот вопрос урегулирован в главе 1 части ГК РФ об исполнении обязательств, в случае непредоставления обязанной стороной обусловленного договором исполнения обязательства либо наличия обстоятельств, очевидно свидетельствующих о том, что такое исполнение не будет произведено в установленный срок, сторона, на которой лежит встречное исполнение, вправе приостановить исполнение своего обязательства либо отказаться от исполнения этого обязательства и потребовать возмещения убытков (п. 2 ст. 328 ГК РФ).