Могут ли родители понести за это наказание?

Здравствуйте, Ольга.

Вот что говорит законодательство.

По Трудовому Кодексу РФ (ст. 63) разрешается оформлять на работу граждан, возраст которых достиг 16 лет. При соблюдении некоторых условий возможно трудоустройство граждан младше указанного возраста.

Официальное трудоустройство несовершеннолетних граждан в возрасте от 14 до 18 лет разрешено, когда ребенок проходит обучение не по очной форме, имеет законченное общее образование или если учеба прекращена с учетом законодательных норм.

Да, могут, если нарушены эти условия.