И может ли работодатель отказать?

Алексей, по ст. 128 Трудового кодекса работодатель может предоставить Вам отпуск без сохранения заработка. Слово «может» здесь ключевое, то есть может и отказать. Обязан он это сделать только: 

участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов принудительного исполнения, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;

Весь вопрос в том, что если в действительности вы обязаны соблюдать режим самоизоляции и/или можете быть носителем вируса, то работодатель вас обязан не допускать до работы. Если никаких оснований для самоизоляции нет, то работодатель может отказать.

по поводу больничного:

VI. Порядок выдачи листка нетрудоспособности при карантине
 

42. При временном отстранении от работы граждан, контактировавших с инфекционными больными, или граждан, выявленных как бактерионосители, листок нетрудоспособности выдается врачом-инфекционистом, а в случае его отсутствия — лечащим врачом. Продолжительность отстранения от работы в этих случаях определяется утвержденными сроками изоляции лиц, перенесших инфекционные заболевания и соприкасавшихся с ними.