Я собственник помещения, сдала его в аренду под спортивный клуб. Я должна взять какие-либо разрешения под этот вид деятельности? Или их должны взять люди, арендовавшие мое помещение?

Уважаемая Лада! Если Вы как собственник сдали помещение в аренду на основании договора,  и не осуществляете в этом помещении никакую предпринимательскую деятельность, то и получать никакие разрешения и лицензии Вы не должны. Их должны получать лишь лица, осуществляющие предпринимательскую деятельность (при определенных видах деятельности), в Вашем помещении — арендатор.

За осуществление предпринимательской деятельности без специального разрешения, если оно требуется, предусмотрена административная ответственность по ст. 14.1 КоАП РФ:

2. Осуществление предпринимательской деятельности без специального разрешения (лицензии), если такое разрешение (такая лицензия) обязательно (обязательна), — влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до двух тысяч пятисот рублей с конфискацией изготовленной продукции, орудий производства и сырья или без таковой; на должностных лиц — от четырех тысяч до пяти тысяч рублей с конфискацией изготовленной продукции, орудий производства и сырья или без таковой; на юридических лиц — от сорока тысяч до пятидесяти тысяч рублей с конфискацией изготовленной продукции, орудий производства и сырья или без таковой.

Лада, добрый день, поскольку Вы не ведете такую деятельность, а ее ведет арендатор, то и ответственность за получение каких-либо разрешений лежит на арендаторе. 

В силу ст. 3 ФЗ «О лицензировании.....»: 

5) соискатель лицензии — юридическое лицо или индивидуальный предприниматель, обратившиеся в лицензирующий орган с заявлением о предоставлении лицензии;
8) место осуществления отдельного вида деятельности, подлежащего лицензированию (далее — место осуществления лицензируемого вида деятельности), — объект (помещение, здание, сооружение, иной объект), который предназначен для осуществления лицензируемого вида деятельности и (или) используется при его осуществлении, соответствует лицензионным требованиям, принадлежит соискателю лицензии или лицензиату на праве собственности либо ином законном основании, имеет почтовый адрес или другие позволяющие идентифицировать объект данные

В случае осуществления лицензируемого вида деятельности, именно арендатор будет соискателем и лицензиатом непосредственно, а арендуемое помещение это не более чем место осуществления вида деятельности.