Бесплатный адвокат требует деньги за урегулирование вопроса по снятию с меня обвинений

Здрасвсвуйте Баир! Вымогательства  в действиях адвоката в описываемом Вами случае однозначно нет, т.к.

«Уголовный кодекс Российской Федерации» от 13.06.1996 N 63-ФЗ (ред. от 19.02.2018)
Статья 163. Вымогательство
 

1. Вымогательство, то есть требование передачи чужого имущества или права на имущество или совершения других действий имущественного характера под угрозой применения насилия либо уничтожения или повреждения чужого имущества, а равно под угрозой распространения сведений, позорящих потерпевшего или его близких, либо иных сведений, которые могут причинить существенный вред правам или законным интересам потерпевшего или его близких, — наказывается ограничением свободы на срок до четырех лет, либо принудительными работами на срок до четырех лет с ограничением свободы на срок до двух лет или без такового, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до четырех лет со штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев либо без такового.
(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 27.12.2009 N 377-ФЗ, от 07.12.2011 N 420-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. Вымогательство, совершенное:
а) группой лиц по предварительному сговору;
б) утратил силу. — Федеральный закон от 08.12.2003 N 162-ФЗ;
(см. текст в предыдущей редакции)

в) с применением насилия;
(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

г) в крупном размере, — (п. «г» введен Федеральным законом от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

наказывается лишением свободы на срок до семи лет со штрафом в размере до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет либо без такового и с ограничением свободы на срок до двух лет либо без такового.
(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 27.12.2009 N 377-ФЗ, от 07.03.2011 N 26-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Вымогательство, совершенное:
а) организованной группой;
б) в целях получения имущества в особо крупном размере;
(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

в) с причинением тяжкого вреда здоровью потерпевшего, — (в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

г) утратил силу. — Федеральный закон от 08.12.2003 N 162-ФЗ
(см. текст в предыдущей редакции)

наказывается лишением свободы на срок от семи до пятнадцати лет со штрафом в размере до одного миллиона рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до пяти лет либо без такового и с ограничением свободы на срок до двух лет либо без такового.
(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 27.12.2009 N 377-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

 Здесь имеет место нарушение кодекса профессиональной этики адвоката. В связи с чем, Вы вправе подать соответствующую жалобу в региональную палату адвокатов, членом которой является адвокат который вел Ваше дело. 

Адвокату Вы не обязаны вообще  платить, т.к. оплата его услуг производится за счет бюджета.