Как наказать людей, которые в соцсети публично на меня клевещут и оскорбляют?

Доброе утро, Влада!
 
 Если имели место факты клеветы и оскорблений в отношении Вас, Вы вправе обратиться за защитой в  правоохранительные органы.
Для фиксации данного факта можете предоставить скриншот страницы с соцсети. Помимо этого если Вы решили судится, то скриншот прийдется нотариально заверять. Так же необходимо выяснить, кто конкретно  опубликовал запись с клеветой.С этой целью  можно обратится в правоохранительные органы, которые   так же могут обращаться в суд.
Как поняла Вас и оскорбили и оклеветали, то есть два состава противоправных действий в отношении Вас имели место быть.
Давайте с оскорбленний начнем. Оскорбление- есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме.
Раньше оскорбления контролировал Уголовный кодекс РФ, и ответственность была уголовной. Но после 2011года состав   исключили из перечня преступлений, и оскорбления  принято считать административными правонарушениями. Ответственность за оскорбление прописана в статье 5.61 КоАП РФ . За оскорбления в мессенджерах и соц. сетях разное наказание следует (ниже приведу статью с санкциями).
Если вас оскорбили через мессенджер, лучше сразу  делать скриншот переписки. Собеседник ведь может аннулировать сообщения, и потом ничего не докажете. Если был публичный пост в социальных сетях, лучше пойти к нотариусу. Он может провести нотариальный осмотр сайта и зафиксировать факт оскорбления и именно его протокол станет доказательством в суде.
В части факта наличиствующего оскорбления пишется заявление в прокуратуру по образцу или произвольно. Заявление нужно написать в прокуратуру, потому что именно прокурор  возбуждать должен  преследование по статье 5.61 КоАП РФ. Заявление можно составить как заранее по образцу, так и написать вместе с работниками прокуратуры уже на месте.
Во время посещения прокуратуры желательно иметь при себе доказательства. Но если допустим нет их  или не знаете как оформлять  и собирать доказательства, ничего страшного. Возможно  все  обсудить с работником прокуратуры, так же в части оформления верного доказательственной базы.
После окончания административного расследования прокурор передаст дело в суд, чтобы привлечь к ответственности  обидчика.
 
Теперь по клевете…Вы правы в УК РФ  статья  128.1  предусматривает уголовную ответсвенность за клевету. Ранее  же существовала 129 статья УК за клевету (в том числе и в интернете). Но с 2012 года она была перенесена в КоАП,  понятие клеветы вернулось в УК РФ  в виде статьи 128.1.
Клевета –это  распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию. Ниже приведу полное ее содержание. Тем самым клевета в интернете – дело наказуемое, но нужно доказать, что пользователю, опубликовавшему запись, содержащую клевету, заведомо было известно, что он мог нанести вред обвиняемой им персоне. Согласно статье 152 ГКРФ, гражданин, подвергшийся клевете, может потребовать ее опровержения. Также гражданин, в отношении которого была допущена клевета, вправе потребовать от ответчика компенсировать причинённый ему моральный вред.
Для привлечения к ответственности за клевету в интернете  подается  заявление в  суд. В заявлении должны быть указаны ваши данные (имя, адрес проживания) и данные ответчика. После этого строго, без эмоций излагаются факты того, что стало причиной написать заявление о клевете в интернете. При этом следует указать: время распространения ложных данных; место, где именно были размещены ложные сведения; сколько было случаев распространения о вас данной ложной информации; последствия ложных сведений (увольнение с работы, проблемы в трудовом коллективе, семье, доведение до самоубийства); просьба к ответчику удалить порочащие гражданина сведения или дать опровержения с внесением извинений; просьбу возмещения морального ущерба и сумму, в которой вы его оцениваете; перечислить свидетелей распространения клеветы. Повторюсь, надо сделать скрины постов, сообщений или комментариев, содержащих клевету, и заверить их у нотариуса. Эти документы так же прикладываются в суд.