Договор в таком случае становится бессрочным?

Здравствуйте. 

Да, он становится заключённым на неопределённый срок. Статья 58 Трудового кодекса РФ прямо закрепляет, что «в случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок».

Если с вами захотят расторгнуть трудовой договор на том основании, что истёк его срок, это будет неправомерно, и такое расторжение трудового договора можно оспорить в суде и восстановиться на работе со всеми компенсациями. 

Надеюсь, мой ответ был полезен.