Нужно ли платить госпошлину при подаче апелляционной жалобы?

Да, надо платить. Освобождаются только истцы при подаче иска. 

Статья 333.19. Размеры государственной пошлины по делам, рассматриваемым Верховным Судом Российской Федерации, судами общей юрисдикции, мировыми судьями

1. По делам, рассматриваемым Верховным Судом Российской Федерации в соответствии с гражданским процессуальным законодательством Российской Федерации и законодательством об административном судопроизводстве, судами общей юрисдикции, мировыми судьями, государственная пошлина уплачивается в следующих размерах:

9) при подаче апелляционной жалобы и (или) кассационной жалобы — 50 процентов размера государственной пошлины, подлежащей уплате при подаче искового заявления неимущественного характера;

Статья 333.36. Льготы при обращении в Верховный Суд Российской Федерации, суды общей юрисдикции, к мировым судьям

1. От уплаты государственной пошлины по делам, рассматриваемым Верховным Судом Российской Федерации в соответствии с гражданским процессуальным законодательством Российской Федерации и законодательством об административном судопроизводстве, судами общей юрисдикции, мировыми судьями, освобождаются:
1) истцы — по искам о взыскании заработной платы (денежного содержания) и иным требованиям, вытекающим из трудовых правоотношений, а также по искам о взыскании пособий;

При обращении в суд с требованиями, вытекающими из трудовых правоотношений, работники освобождаются от уплаты госпошлины и судебных расходов (ст. 393 ТК РФ; пп. 1 п. 1 ст. 333.36 НК РФ).