И должна ди я доказать, дату, в которую было получено мною письмо?

Здравствуйте! 

Для более полной консультации укажите пожалуйста, когда страховщику было подано заявление о наступлении страхового случая, когда Вам направили письмо, когда его получили, дату осмотра, которую Вам указал страховщик и когда потерпевшему произвели выплату.

Требование страховщика о предоставлении Вашего автомобиля на осмотр правомерно, только если ДТП оформляли без участия сотрудников полиции (составили извещение о ДТП, так называемый Европротокол) и если Вы являетесь виновной в ДТП стороной.

Вы обязаны представить свое транспортное средство на осмотр в течение пяти рабочих дней со дня получения такого требования. Если Ваше транспортное средство исключает эксплуатацию (согласно Приложению к Правилам дорожного движения РФ «Перечень неисправностей и условий, при которых запрещается эксплуатация транспортных средств», например, из-за повреждений фары, которая не работает в установленном порядке), осмотр производится по месту нахождения транспортного средства. Только об этом нужно указать страховщику.

У страховщика было всего 10 рабочих дней на осмотр Вашего автомобиля с момента получения им заявления потерпевшего о страховом случае, при этом только в том случае, если по результатам осмотра и/или экспертизы транспортного средства потерпевшего невозможно было достоверно установить наличие страхового случая (то есть ДТП и повреждение деталей автомобиля в ходе ДТП) и определить размер убытков, то есть суммы выплаты. 

Но как правило по Европротоколу оформляют ДТП с небольшими повреждениями.

Согласно подпункту «з» пункта 1 статьи 14 Федеральный закон от 25.04.2002 N 40-ФЗ «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств»,

до истечения 15 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня дорожно-транспортного происшествия указанное лицо в случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции приступило к ремонту или утилизации транспортного средства, при использовании которого им был причинен вред, и (или) не представило по требованию страховщика данное транспортное средство для проведения осмотра и (или) независимой технической экспертизы;Согласно пункту 3 статьи 11,1 Федеральный закон от 25.04.2002 N 40-ФЗ «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств»,

В случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции владельцы транспортных средств, причастных к дорожно-транспортному происшествию, по требованию страховщиков, указанных в пункте 2 настоящей статьи, обязаны представить указанные транспортные средства для проведения осмотра и (или) независимой технической экспертизы в течение пяти рабочих дней со дня получения такого требования.

Для обеспечения возможности осмотра и (или) независимой технической экспертизы транспортных средств, участвовавших в дорожно-транспортном происшествии, в случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции владельцы указанных транспортных средств без наличия согласия в письменной форме страховщиков, указанных в пункте 2 настоящей статьи, не должны приступать к их ремонту или утилизации до истечения 15 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня дорожно-транспортного происшествия.

Согласно абзацу 2 пункта 10 статьи 12 Федеральный закон от 25.04.2002 N 40-ФЗ «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств»,

В случае, если осмотр и (или) независимая техническая экспертиза, независимая экспертиза (оценка) представленных потерпевшим поврежденного транспортного средства, иного имущества или его остатков не позволяют достоверно установить наличие страхового случая и определить размер убытков, подлежащих возмещению по договору обязательного страхования, для выяснения указанных обстоятельств страховщик в течение 10 рабочих дней с момента представления потерпевшим заявления о страховом возмещении вправе осмотреть транспортное средство, при использовании которого имуществу потерпевшего был причинен вред, и (или) за свой счет организовать и оплатить проведение независимой технической экспертизы в отношении этого транспортного средства в порядке, установленном статьей 12.1 настоящего Федерального закона. Владелец транспортного средства, при использовании которого имуществу потерпевшего был причинен вред, обязан представить это транспортное средство по требованию страховщика.

Выводы. Вы не обязаны ничего доказывать. Доказывание происходит в суде. При этом согласно статье 56 Гражданского процессуального кодекса каждая сторона доказывает те обстоятельства, на которые ссылается. Правомерность своих требований, даты и прочее должен доказать страховщик.

Во-первых, нужно смотреть, в какие сроки они отправили Вам уведомление. Если за пределами 10 рабочих дней с момента получения заявления от потерпевшего, то и предъявить нечего не могут. 

Во-вторых, необходимость осмотра. Из вопроса я так понял, что выплату произвели до того момента, как Вы получили уведомление об осмотре, соответственно осмотр Вашего транспортного средства и не понадобился для установления наличия страхового случая и определения размера убытков. В данном случае страховщик злоупотребляет своим правом на осмотр.

Можете подать на страховую компанию жалобу в Банк России и в Роспотребнадзор.

Согласно пункту 1 статьи 165.1 Гражданского кодекса РФ,

Заявления, уведомления, извещения, требования или иные юридически значимые сообщения, с которыми закон или сделка связывает гражданско-правовые последствия для другого лица,влекут для этого лица такие последствия с момента доставки соответствующего сообщения ему или его представителю.
Сообщение считается доставленным и в тех случаях, если оно поступило лицу, которому оно направлено (адресату), но по обстоятельствам, зависящим от него, не было ему вручено или адресат не ознакомился с ним.

Согласно пункту 1 статьи 10 Гражданского кодекса РФ,

Не допускаются осуществление гражданских прав исключительно с намерением причинить вред другому лицу, действия в обход закона с противоправной целью, а также иное заведомо недобросовестное осуществление гражданских прав (злоупотребление правом).