Как оспаривать взыскание по ОСАГО?

Здравствуйте. Если суд уже принял решение по делу, то единственный путь это обжаловать решение суда.

Глава 39. ПРОИЗВОДСТВО В СУДЕ АПЕЛЛЯЦИОННОЙ ИНСТАНЦИИ
(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)
Статья 320. Право апелляционного обжалования
(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)
1. Решения суда первой инстанции, не вступившие в законную силу, могут быть обжалованы в апелляционном порядке в соответствии с правилами, предусмотренными настоящей главой.
2. Право апелляционного обжалования решения суда принадлежит сторонам и другим лицам, участвующим в деле. Право принесения апелляционного представления принадлежит прокурору, участвующему в деле.
Статья 321. Порядок и срок подачи апелляционных жалобы, представления
1. Апелляционные жалоба, представление подаются через суд, принявший решение. Апелляционные жалоба, представление, поступившие непосредственно в апелляционную инстанцию, подлежат направлению в суд, вынесший решение, для дальнейших действий в соответствии с требованиями статьи 325 настоящего Кодекса.
2. Апелляционные жалоба, представление могут быть поданы в течение месяца со дня принятия решения суда в окончательной форме, если иные сроки не установлены настоящим Кодексом.

Но не вижу особых перспектив, т.к. экспертиза определила размер ущерба и другие суды вряд ли ещё уменьшат сумму ущерба.

Что касается расходов, то Вам их должны возместить частично.

Статья 88. Судебные расходы
1. Судебные расходы состоят из государственной пошлины и издержек, связанных с рассмотрением дела.
Статья 94. Издержки, связанные с рассмотрением дела
К издержкам, связанным с рассмотрением дела, относятся:
суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам, специалистам и переводчикам;
Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами
1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.