Можно ли получить отсрочку от службы в армии?

Можно.

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН О ВОИНСКОЙ ОБЯЗАННОСТИ И ВОЕННОЙ СЛУЖБЕ
Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу
1. Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданам:
б) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, если отсутствуют другие лица, обязанные по закону содержать указанных граждан, а также при условии, что последние не находятся на полном государственном обеспечении и нуждаются по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства граждан, призываемых на военную службу, в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре);

Вам нужно документально подтвердить необходимость такого ухода.

Отсрочка от призыва на военную службу предусмотрена для граждан, занятых постоянным уходом за близкими родственниками. Согласно подп. «б» п. 1 ст. 24 Федерального закона «О воинской обязанности и военной службе» право на отсрочку от призыва на военную службу по данному основанию возникает у призывника только при соблюдении целого ряда условий :

1) лицо, за которым осуществляется уход, должно приходиться призывнику отцом, матерью, женой, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем (перечень является исчерпывающим и расширительному толкованию не подлежит;
2) предоставление отсрочки возможно, если отсутствуют другие (кроме гражданина, подлежащего призыву) лица, обязанные по закону его содержать, и родственник призывника не находится на полном государственном обеспечении;
3) право на отсрочку возникает, если родственник призывника нуждается по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства гражданина, призываемого на военную службу, в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).

В соответствии с приложением N 32 к п. 39 Инструкции, утвержденной Приказом Министра обороны Российской Федерации 2007 г. N 400, при рассмотрении вопроса о предоставлении гражданину отсрочки от призыва на военную службу по указанному основанию призывной комиссии представляются подлинники следующих документов:
— свидетельства о рождении гражданина, подлежащего призыву на военную службу;
— справки о составе семьи;
— на дедушек, бабушек — свидетельств о рождении родителей гражданина, подлежащего призыву на военную службу;
— на усыновителей — соответствующего решения федерального суда;
— заключения федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства гражданина, призываемого на военную службу, о нуждаемости указанных родственников в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре);
— паспортов родителей, родственников (усыновителей), которые нуждаются в постоянном уходе.
Кроме того, военный комиссариат обязан принять меры по истребованию других документов, подтверждающих отсутствие других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан, независимо от места их проживания.

Полагаю, вам надо озаботиться получением заключения федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства гражданина, призываемого на военную службу, о нуждаемости отца и (или) бабушки в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре). Указывать именно на тот факт, что ни один из них не может оказать другому помощи и поддержки. Необходимо будет предоставить, я полагаю, также копию пенсионного удостоверения бабушки, справки о размере пенсии отца и бабушки.

Хорошо бы отец был зарегистрирован с вами, а бабушка отдельно… Тогда о ее существовании военкомат долюен будет узнать как-то сам...