Правомочны ли действия сотрудника ЗАГС?

Да правомочны, т.к. с буквой «е» это другая фамилия. Сходите в суд пусть внесут исправление.

Отказ не правомерен, т.к. е и ё являются равнозначными, обращайтесь к ним письменно с заявлением, чтоб на Вашем экз поставили отметку о получении. Поучайте отказ и обжалуйте его в суд порядке

Федеральный закон № 53-ФЗ «О государственном языке Российской Федерации» предписывает обязательное употребление буквы ё в случаях, когда без неё теряется смысл слова. Также Верховный суд России в 2009 году постановил, что при разном написании имени в разных документах, буквы е и ё считаются равнозначными, и такие документы являются действительными
Это если касаться общих норм, закрепленных в праве. Есть еще одно, более конкретное, письмо, но, к сожалению, более узкого министрества.
Письмо Минобрнауки России от 01.10.2012 N ИР-829/08 «О правописании букв „е“ и „ё“ в официальных документах»
Минобрнауки России разъяснен порядок применения буквы «ё» в официальных документах.
Закон обязывает при заполнении документов использовать нормы современного русского языка и правила русской орфографии и пунктуации. В настоящее время применяются Правила русской орфографии и пунктуации, утвержденные в 1956 году Академией наук СССР, Министерством высшего образования СССР и Министерством просвещения РСФСР, в которых указано, что буква «ё» пишется в случаях, когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, либо когда необходимо указать произношение малоизвестного слова.
Минобрнауки России сообщает, что судебная практика по данному случаю исходит из того, что на основании вышеуказанных правил, написание букв «е» и «ё» приравнивается. Написание буквы «е» вместо «ё» и наоборот в фамилии, имени и отчестве не искажает данных владельца документов, при условии, что данные, на основании которых можно идентифицировать лицо в таких документах, соответствуют. Кроме того, судебный прецедент при рассмотрении дел о внесении исправлений или изменений в записи актов гражданского состояния разрешается в пользу заявителя (истца).