Смогу ли я имея в собственности другую недвижимость перезаключить договор социального найма на своё имя и проживать в этой квартире?

Конечно можете. Ограничения по количеству квартир в собственности нет. Но именно соцнайм может быть по одной. 

Статья 61. Пользование жилым помещением по договору социального найма

1. Пользование жилым помещением по договору социального найма осуществляется в соответствии с настоящим Кодексом, договором социального найма данного жилого помещения.
2. Наниматель жилого помещения в многоквартирном доме по договору социального найма данного жилого помещения приобретает право пользования общим имуществом в этом доме.

Статья 62. Предмет договора социального найма жилого помещения

1. Предметом договора социального найма жилого помещения должно быть жилое помещение (жилой дом, квартира, часть жилого дома или квартиры).
2. Самостоятельным предметом договора социального найма жилого помещения не могут быть неизолированное жилое помещение, помещения вспомогательного использования, а также общее имущество в многоквартирном доме.