Заявление в полицию никто не писал, но вызов полиции был

7. Уголовные дела частного обвинения. Речь идет об очень небольшой по объему категории уголовных дел, к которой в настоящее время
относятся дела о преступлениях, предусмотренных ч. 1 ст. 115 (умышленное причинение легкого вреда здоровью), ст. 116 (нанесение побоев лицом, подвергнутым административному взысканию), ч. 1 ст. 128
(клевета) УК РФ.

1) такие дела могут возбуждаться исключительно по заявлению потерпевшего, т.е. уполномоченные органы не вправе в данном случае
возбудить уголовное дело по собственной инициативе (ex officio) даже
при наличии явных признаков преступления;
2) Такие дела независимо от усмотрения суда подлежат обязательному прекращению в случае примирения потерпевшего с обвиняемым,
которое может состояться до удаления суда в совещательную комнату.

Надо также иметь в виду, что диспозитивный характер уголовного
процесса несовместим с институтом предварительного расследования,
которое с учетом его направленности на достижение публично-правовых целей не может «включаться» и «выключаться» по инициативе
частных лиц. Поэтому по делам частного обвинения предварительное
расследование не производится (то есть человека судят без следствия полиция в этом случае следствия не ведёт). Потерпевший направляет свое заявление непосредственно в мировой суд, где выступает в качестве частного обвинителя, что максимально сближает в данном случае по технике уголовный процесс с гражданским.

Ну вообще по моему мнению полицейские должны были прибыть на место преступления составить рапорт об обнаружении признаков преступления и передать дознавателю а дознаватель  должен провести экспертизу и установить какой вред был причинен здоровью лёгкий или средний если средний или тяжкий то должен возбудить уголовное дело по соответствующей статье.а если умышленное причинение легкого вреда здоровью то дело не возбуждать и дознание не проводить. А потерпевший должен пойти с заявлением в мировой суд. 

.