Нужно ли обязательно писать заявление в таком случае?

Здравствуйте, Лана! Заявление можно отправить по почте, только не по электронной, а по обычной. То что вы не произведёте своевременно оплату, не означает автоматического расторжения договора с вами, возможно вас ещё пару месяцев не отчислят, а потом потребуют за это деньги. Так что лучше не ждать, а направить им заявление об отчислении и предложение расторгнуть договор по соглашению сторон.

Здравствуйте Лана!

Федеральный закон «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 N 273-ФЗ  в ст. 34 и 44 устанавливает, что обучающиеся и их законные представители (родители) имеют право на выбор организации, осуществляющей образовательную деятельность, а также  формы получения образования и формы обучения.
В соответствии со ст. 61 закона:

5. При досрочном прекращении образовательных отношений организация, осуществляющая образовательную деятельность, в трехдневный срок после издания распорядительного акта об отчислении обучающегося выдает лицу, отчисленному из этой организации, справку об обучении в соответствии с частью 12 статьи 60 настоящего Федерального закона.

Заявление можете направить заказным с уведомлением, так будет зафиксировано Ваше заявление. 

Так же надо посылать уведомление о расторжении договора (ст. 450 ГК РФ) иначе образовательная организация  будет вправе начислять Вам оплату за обучение.