Могу ли не пересекать границу и продлить срок пребывания после истечения 90 дней?

Подавайте заявление на увеличение срока пребывания в РФ и чтобы было ходатайство ВУЗа, куда вы поступили. Тогда выезжать за территорию РФ не надо будет.

Как указано в п.2 ст 5 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 26.07.2019) «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» временно пребывающий в Российской Федерации иностранный гражданин обязан выехать из Российской Федерации по истечении срока действия его визы или иного срока временного пребывания, за исключением случаев, когда на день истечения указанных сроков ему продлены срок действия визы или срок временного пребывания, либо ему выданы новая виза, или разрешение на временное проживание, или вид на жительство, либо у него приняты заявление и иные документы, необходимые для получения им разрешения на временное проживание в порядке, предусмотренном статьей 6.1 настоящего Федерального закона,  либо ходатайство образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается по очной или очно-заочной форме по основной профессиональной образовательной программе, имеющей государственную аккредитацию, или ходатайство федеральной государственной образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается на подготовительном отделении или подготовительном факультете по дополнительной общеобразовательной программе, обеспечивающей подготовку иностранных граждан к освоению основных профессиональных образовательных программ на русском языке (далее — подготовительный факультет федеральной государственной образовательной организации), о продлении срока временного пребывания в Российской Федерации такого иностранного гражданина.

МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПРИКАЗ 
от 18 декабря 2017 г. N 933

ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПОРЯДКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ О ПРОДЛЕНИИ ЛИБО СОКРАЩЕНИИ СРОКА ВРЕМЕННОГО ПРЕБЫВАНИЯ ИНОСТРАННОГО ГРАЖДАНИНА ИЛИ ЛИЦА БЕЗ ГРАЖДАНСТВА В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Основаниями для продления либо сокращения срока временного пребывания являются обстоятельства, установленные пунктами 2, 3, 5 и 7 статьи 5 Федерального закона от 25 июля 2002 г. N 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» <8> и статьей 97 Договора о Евразийском экономическом союзе.

В случае подачи иностранным гражданином или принимающей его стороной заявления или ходатайства, предусмотренных пунктом 2 статьи 5 Федерального закона, а также при выдаче иностранному гражданину или при продлении срока действия документов, предусмотренных пунктом 5 статьи 5 Федерального закона, срок временного пребывания продлевается без подачи заявления о продлении срока временного пребывания.

Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 26.07.2019) «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»

Статья 5. Временное пребывание иностранных граждан в Российской Федерации

2. Временно пребывающий в Российской Федерации иностранный гражданин обязан выехать из Российской Федерации по истечении срока действия его визы или иного срока временного пребывания, установленного настоящим Федеральным законом или международным договором Российской Федерации, за исключением случаев, когда на день истечения указанных сроков ему продлены срок действия визы или срок временного пребывания, либо ему выданы новая виза, или разрешение на временное проживание, или вид на жительство, либо у него приняты заявление и иные документы, необходимые для получения им разрешения на временное проживание в порядке, предусмотренном статьей 6.1 настоящего Федерального закона, либо у него принято заявление о выдаче уведомления о возможности приема в гражданство Российской Федерации иностранного гражданина, признанного носителем русского языка в соответствии со статьей 33.1Федерального закона от 31 мая 2002 года N 62-ФЗ «О гражданстве Российской Федерации», или заявление о выдаче вида на жительство, либо федеральным органом исполнительной власти в сфере внутренних дел принято ходатайство работодателя или заказчика работ (услуг) о привлечении иностранного гражданина к трудовой деятельности в качестве высококвалифицированного специалиста или заявление работодателя или заказчика работ (услуг) о продлении срока действия разрешения на работу, выданного такому высококвалифицированному специалисту в соответствии со статьей 13.2настоящего Федерального закона, либо ходатайство образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается по очной или очно-заочной форме по основной профессиональной образовательной программе, имеющей государственную аккредитацию, или ходатайство федеральной государственной образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается на подготовительном отделении или подготовительном факультете по дополнительной общеобразовательной программе, обеспечивающей подготовку иностранных граждан к освоению основных профессиональных образовательных программ на русском языке (далее — подготовительный факультет федеральной государственной образовательной организации), о продлении срока временного пребывания в Российской Федерации такого иностранного гражданина.