Могу ли выставить претензию клиенту, если он затягивает подписание доп соглашения?

Здравствуйте, Луиза.

Если обязанность подписания доп соглашения и сроки его подписания прямо не указаны в основном договоре, то нет.

Т.к. доп соглашение — это по сути изменение условий договора, а согласно 

ч. 1 ст. 421 ГК РФ: Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.

ч. 1 ст. 450 ГК РФ: Изменение и расторжение договора возможны по соглашению сторон, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом, другими законами или договором.

таким образом, неподписание дополнительного соглашения — право Вашего клиента, если иное не следует из договора.