Должен ли работодатель предоставить неполный рабочий день сотруднику, ухаживающему за инвалидом?

По Вашей ситуации в Трудовом кодексе предусмотрена возможность установление неполного рабочего времени — но в этом случае оплата будет производиться за отработанное время:

Статья 93. Неполное рабочее время
По соглашению между работником и работодателем могут устанавливаться как при приеме на работу, так и впоследствии неполный рабочий день (смена) или неполная рабочая неделя. Работодатель обязан устанавливать неполный рабочий день (смену) или неполную рабочую неделю по просьбе беременной женщины, одного из родителей (опекуна, попечителя), имеющего ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет), а также лица, осуществляющего уход за больным членом семьи в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.
При работе на условиях неполного рабочего времени оплата труда работника производится пропорционально отработанному им времени или в зависимости от выполненного им объема работ.
Работа на условиях неполного рабочего времени не влечет для работников каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав.
Таким образом, если Вы предоставите справку о том, что осуществляете уход за больным членом семьи и обратитесь к работодателю с просьбой об установлении неполного рабочего времени, то работодатель, согласно этой статье, не может Вам отказать